Question

如图,建立直角坐标系，已知正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.

(1)证明：OM是异面直线AA′和BD′的公垂线；

(2)求异面直线MO和BC′所成的角的大小.

Answer 1

(1)证明:M(a,0,),O(,,),A(a,0,0),A′(a,0,a),B(a,a,0),D′(0,0,a),C′(0,a,a).

    ∴=(,-,0), =(0,0,a),=(-a,-a,a).

    ∴·=0, ·=-+=0.

    ∴⊥,⊥.

    ∴OM是异面直线AA′和BD′的公垂线.

(2)解:由(1)知=(-a,0,a),

∴cos〈,〉==

==-.

    ∴〈,〉=120°.

    ∴异面直线和所成的角为60°.