Question

曲线y=2cos（x+

π

4

）•cos（x-

π

4

）和直线y=

1

2

在y轴右侧的交点横坐标按从小到大依次记为P₁、P₂、…、P_n，则|P₂P_2n|=（　　）

• A．π
• B．2nπ
• C．（n-1）π
• D．

  n-1

  2

  π

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为cos2x，由cos2x=

1

2

 解得x=kπ+

π

6

，或 x=kπ+

5π

6

，k∈z，从而得到|P₂P₄ |=π，|P₂ P₆|=2π，|P₂ P₈|=3π，…|P₂P_2n|=（n-1）π．

解答：解：曲线y=2cos（x+

π

4

）•cos（x-

π

4

）=2（

2

2

cosx-

2

2

sinx） （

2

2

cosx +

2

2

sinx ）
=cos²x-sin²x=cos2x．
由cos2x=

1

2

 解得 2x=2kπ+

π

3

，或 2x=2kπ+

5π

3

，k∈z，
即 x=kπ+

π

6

，或 x=kπ+

5π

6

，k∈z．
故P₁、P₂、…、P_n …的横坐标分别为

π

6

、

5π

6

、

7π

6

、

11π

6

、

13π

6

、

17π

6

…
∴|P₂P₄ |=π，|P₂ P₆|=2π，|P₂ P₈|=3π，…|P₂P_2n|=（n-1）π．
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，直线与曲线的相交的性质，求两个函数图象的交点间的距离，关键是要求出交点的坐标，然后根据两点间的距离求法进行求解．