Question

定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称；函数f（x）的图象过点P（3，-6）；函数f（x）在点x₁，x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=4．
（1）求f（x）表达式；
（2）求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（3）求证：?α、β∈R，-

64

3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

64

3

．

Answer 1

分析：（1）f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称，即f（x）的图象关于点（0，0）对称，求出b，d的值，根据韦达定理得到关于a，c的等式，将点（3，-6）代入f（x）的解析式得到a，c的另一个等式，解方程组求出a，c的值，代入f（x）中得到其解析式．
（2）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（3）求出f（x）的导函数，判断出导函数在[-2，2]上的符号，判断出函数在[-2，2]上的单调性，求出f（x）在[-2，2]上的最值，得证．

解答：解：（1）f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称，即f（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴d=0，b=0，
又函数f（x）的图象过点P（3，-6），∴9a+c=-2，
f（x）=ax³+bx²+cx=0两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4，
∴

4b2-12ac＞0 x1+x2=- 2b 3a x1x2= c 3a

⇒

ac＜0 x1x2=0 x1x2= c 3a =-4

又|x₁-x₂|²=

4b2

9a2

-

4c

3a

=16，c=-12a
∴a=

2

3

，b=0，c=-8，d=0，
∴f（x）=

2

3

x3-8x；
（2）f′（x）=2x²-8，f′（3）=18，
∴切线方程为：10x-y-36=0；
（3）当-2≤x≤2时，f′（x）=2x²-8≤0，∴f（x）在[-2，2]上递减，
又?α∈R，-2≤2cosα≤2，∴-

32

3

≤f(2)≤f(2cosα)≤f(-2)=

32

3

，
同理，-

32

3

≤f(2)≤f(2sinβ)≤f(-2)=

32

3

，
∴?α、β∈R，-

64

3

≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤

64

3

．

点评：本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．导数是高考的热点问题，每年必考，要给予重视．