Question

下面四个命题：
①已知函数f（x）=

x  ，x≥0  -x  ，x＜0

且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②要得到函数y=sin（2x+

π

3

）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移

π

3

单位；
③若定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（x）是周期函数；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，则不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由分段函数函数值的求法结合f（a）+f（4）=4分类求解a的值判断①；
把函数y=sin（2x+

π

3

）变形为sin[2（x+

π

6

）]，看自变量的变化判断②；
由已知条件求出函数周期判断③；
结合函数的单调性与奇偶性求得不等式f（x）＜0的解集判断④．

解答： 解：对于①，∵f（x）=

x  ，x≥0  -x  ，x＜0

，
∴f（4）=2，
又f（a）+f（4）=4，
∴f（a）=2．
若a≥0，则f（a）=

a

=2，a=4．
若a＜0，则f(a)=

-a

=2，a=-4．∴命题①错误；
对于②，∵y=sin（2x+

π

3

）=sin[2（x+

π

6

）]，
∴要得到函数y=sin（2x+

π

3

）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移

π

6

单位．∴命题②错误；
对于③，若定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
则f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（x）是周期为2的周期函数．命题③正确；
对于④，奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，则f（x）在（-∞，0）上为增函数，
又f（-1）=0，
∴f（1）=0，
则不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1或0＜x＜1}．∴命题④错误．
∴正确的命题是③．
故答案为：③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，解答此题的关键在于对函数性质的理解与应用，是中档题．