Question

圆M的圆心在直线y=-2x上，且与直线x+y=1相切于点A（2，-1），
（1）试求圆M的方程；
（2）过原点的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|=2，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由题意知：过A（2，-1）且与直线x+y=1垂直的直线方程为：y=x-3，确定圆心与半径，即可求圆M的方程；
（2）分两种情况考虑：①当直线l的斜率不存在时，显然经检验x=0满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，由弦长的一半及圆的半径，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意知：过A（2，-1）且与直线x+y=1垂直的直线方程为：y=x-3
∵圆心在直线：y=-2x上，∴由 

y=-2x y=x-3

⇒

x=1 y=-2

，
即M（1，-2），且半径r=|AO1|=

(2-1)2+(-1+2)2

=

2

，
∴所求圆的方程为：（x-1）²+（y+2）²=2（得圆心给2分）（6分）
（2）①当斜率不存在时，直线方程是x=0，圆心到直线的距离为1，|BC|=2所以x=0满足题意…（9分） 
②当斜率存在时，设直线方程y=kx，
由BC=2

2-( |k+2| 1+k2 )2

=2得k=-

3

4

，
所以直线方程为y=-

3

4

x所以所求直线方程为x=0，y=-

3

4

x…（14分）

点评：此题考查了圆的切线方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，利用了分类讨论的思想，要求学生考虑问题要全面，做到不重不漏．