题目内容
二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2
，则该二面角的大小为（ ）
| 17 |
| A、150° | B、45° |
| C、60° | D、120° |
分析：将向量
转化成
=
+
+
，然后等式两边同时平方表示出向量
的模，再根据向量的数量积求出向量
与
的夹角，而向量
与
的夹角就是二面角的大小．
| CD |
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
| CD |
| CA |
| BD |
| CA |
| BD |
解答：解析：由条件，知
•
=0，
•
=0，
=
+
+
．
∴|
|2=|
|2+|
|2+|
|2+2
•
+2
•
+2
•
=62+42+82+2×6×8cos?
，
?=(2
)2，
∴cos?
，
?=-
，即?
，
?=120°，
所以二面角的大小为60°，
故选C．
| CA |
| AB |
| AB |
| BD |
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
∴|
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
| CA |
| AB |
| AB |
| BD |
| CA |
| BD |
=62+42+82+2×6×8cos?
| CA |
| BD |
| 17 |
∴cos?
| CA |
| BD |
| 1 |
| 2 |
| CA |
| BD |
所以二面角的大小为60°，
故选C．
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
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如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD的长．
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