题目内容
已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PD⊥底面ABCD，∠DAB=60°，E为AB的中点．（1）证明：DC⊥平面PDE；
（2）若PD=
| 3 |
分析：（1）根据底面为含有60度的菱形，得△DAB为正三角形，从而得到AB⊥DE，结合PD⊥AB利用线面垂直判定定理，即可证出DC⊥平面PDE；
（2）分别以DE，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（2）分别以DE，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面DEP与面BCP的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
解答：
证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PD⊥AB
连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°
∴△DAB为等边三角形…（2分）
又∵E为AB的中点
∴AB⊥DE
又∵PD∩DE=D
∴AB⊥底面PDE…（4分）
∵AB∥CD
∴CD⊥底面PDE…（6分）
解：（2）如图，分别以DE，DB，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系设AD=a，则PD=
a
∴D(0，0，0)，B(
a，
a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，
a)…（8分）
由(1)知面PDE的法向量
=(0，a，0)．
设面PBC的法向量
=(x，y，z)
则
又∵
=(-
a，
a，0)，
=(0，a，-
a)
∴
令x=1，则y=
，z=1
∴
=(1，
，1)…（10分）
∴cos＜
，
＞=
=
=
∴面PDE与面PBC所成角的余弦值为
…（12分）
证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PD⊥AB
连接DB，在菱形ABCD中，∠DAB=60°
∴△DAB为等边三角形…（2分）
又∵E为AB的中点
∴AB⊥DE
又∵PD∩DE=D
∴AB⊥底面PDE…（4分）
∵AB∥CD
∴CD⊥底面PDE…（6分）
解：（2）如图，分别以DE，DB，DP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系设AD=a，则PD=
| 3 |
∴D(0，0，0)，B(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
由(1)知面PDE的法向量
| DC |
设面PBC的法向量
| n |
则
|
又∵
| BC |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| PC |
| 3 |
∴
|
令x=1，则y=
| 3 |
∴
| n |
| 3 |
∴cos＜
| DC |
| n |
| ||||
|
|
| ||
a•
|
| ||
| 5 |
∴面PDE与面PBC所成角的余弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面垂直的判定定理是解答（1）的关键，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．
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