Question

双曲线kx²-y²=1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程．

Answer 1

解：由题意k＞0，c=，
渐近线方程l为y=x，
准线方程为x=±，于是A（，），
直线FA的方程为y=，
于是B（-，）．
由B是AC中点，则x_C=2x_B-x_A=-，
y_C=2y_B-y_A=．
将x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得
k²c⁴-10kc²+25=0．
解得k（1+）=5，则k=4．
所以双曲线方程为：4x²-y²=1．
分析：由题设条件求出A（，），B（-，）．由B是AC中点，知x_C=2x_B-x_A=-，y_C=2y_B-y_A=．
将x_C、y_C代入方程kx²-y²=1，得k²c⁴-10kc²+25=0．求出k的值，从而得到双曲线方程．
点评：本题考查双曲线的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．