Question

已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x²＋y²＝9上任意两个不同的点，且满足＝0，设P为弦AB的中点．

(1)求点P的轨迹T的方程；

(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

 (1)法一：连接CP，由＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，

由垂径定理知|OP|²＋|AP|²＝|OA|²，即|OP|²＋|CP|²＝9，

设点P(x，y)，有(x²＋y²)＋[(x－1)²＋y²]＝9，

化简得，x²－x＋y²＝4.

法二：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，

根据题意知，x＋y＝9，x＋y＝9,2x＝x₁＋x_2,2y＝y₁＋y₂，

∴4x²＝x＋2x₁x₂＋x，4y²＝y＋2y₁y₂＋y，

故4x²＋4y²＝(x＋y)＋(2x₁x₂＋2y₁y₂)＋(x＋y)＝18＋2(x₁x₂＋y₁y₂)，①

又∵＝0，∴(1－x₁，－y₁)·(1－x₂，－y₂)＝0，

∴(1－x₁)×(1－x₂)＋y₁y₂＝0，故x₁x₂＋y₁y₂＝(x₁＋x₂)－1＝2x－1，

代入①式得，4x²＋4y²＝18＋2(2x－1)，

化简得，x²－x＋y²＝4.

(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y²＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y²＝4x，

由方程组得，x²＋3x－4＝0，

解得x₁＝1，x₂＝－4，

由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，

故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．