Question

（2012•浦东新区一模）定义数列{x_n}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（x_n+1-p）（x_n-p）＜0成立，那么我们称数列{x_n}为“p-摆动数列”．
（1）设a_n=2n-1，bn=(-

1

2

)n，n∈N^*，判断{a_n}、{b_n}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；
（2）已知“p^-摆动数列”{c_n}满足c_n+1=

1

cn+1

，c₁=1，求常数p的值；
（3）设d_n=（-1）ⁿ•（2n-1），且数列{d_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题目给出的摆动数列的定义，对数列{a_n}加以验证，看是否存在常数p，使得2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，只要n去不同的值1，2，即可发现p不存在，而对于数列{b_n}，满足bnbn+1=(-

1

2

)2n+1＜0对任意n成立，所以，p可取值为0；
（2）由数列{c_n}是“p-摆动数列”，且满足c_n+1=

1

cn+1

，c₁=1，求出c₂后可断定常数p的初步范围，再由（x_n+1-p）（x_n-p）＜0对任意正整数n成立，得出数列的奇数项都小于p，偶数项都大于p，或奇数项都大于p，偶数项都小于p，然后利用“两边夹”的办法可求p的值；
（3）由d_n=（-1）ⁿ•（2n-1），求出数列{d_n}的前n项和，由前n项和看出p=0时即可使数列{S_n}满足“p-摆动数列”的定义，然后根据数列{S_n}在n为奇数和n为偶数时的单调性即可求出p的范围．

解答：解：（1）假设数列{a_n}是“p-摆动数列”，
即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1时，则1＜p＜3，取n=2时，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{a_n}不是“p-摆动数列”；
由bn=(-

1

2

)n，于是bnbn+1=(-

1

2

)2n+1＜0对任意n成立，其中p=0．
所以数列{b_n}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{c_n}为“p-摆动数列”，又c₁=1，所以c2=

1

2

，
即存在常数

1

2

＜p＜1，使对任意正整数n，总有（c_n+1-p）（c_n-p）＜0成立；
即有（c_n+2-p）（c_n+1-p）0，
所以c₁＞p⇒c₃＞p⇒…⇒c_2n-1＞p．
同理c₂＜p⇒c₄＜p⇒…⇒c_2n＜p．
所以c_2n＜p＜c_2n-1⇒

1

c2n-1+1

＜c2n-1，解得c2n-1＞

5 -1

2

，
即p≤

5 -1

2

．
同理

1

c2n+1

＞c2n，解得c2n＜

5 -1

2

，即p≥

5 -1

2

．
综上p=

5 -1

2

．
（3）证明：由dn=(-1)n•(2n-1)
Sn=(-1)+3+(-5)+…+(-1)n(2n-1)．
当n为偶数时，Sn=2×

n

2

=n
当n为奇数时，Sn=2×

n-1

2

+(-1)n•(2n-1)=-n
所以，Sn=(-1)n•n，
显然存在p=0，使对任意正整数n，总有SnSn+1=(-1)2n+1•n(n+1)＜0成立，
所以数列{S_n}是“p-摆动数列”；
当n为奇数时S_n=-n递减，所以S_n≤S₁=-1，只要p＞-1即可
当n为偶数时S_n递增，S_n≥S₂，只要p＜2即可
综上-1＜p＜2，p的取值范围是（-1，2）．
如取p=

1

2

时，(Sn-

1

2

)(Sn+1-

1

2

)=[(-1)n-

1

2

][(-1)n+1(n+1)-

1

2

]
=(-1)2n+1•n(n+1)+

1

2

(-1)n+

1

4

=-n(n+1)+

1

2

(-1)n+

1

4

．
因为-

1

4

≤

1

2

(-1)n+

1

4

≤

3

4

，-n（n+1）≤-2，
存在p=

1

2

，使(Sn-

1

2

)(Sn+1-

1

2

)＜0成立．
所以数列{S_n}是“p-摆动数列”．

点评：本题是新定义下的等差数列和等比数列综合题，考查了学生的发散思维能力，解答此题的关键是在理解定义的基础上，把问题转化为熟悉的知识来解决，用到了证明不等式的“两边夹”的方法，此题是有一定难度的问题．