Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，（n=1，2，3…）
（1）求证数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和s_n关于n表达式
（2）设数列的前n项和为T_n，求T_n
（3）是否存在自然数n值得？若存在，求出n值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由
得s_n=na_n-2n（n-1）
当n≥2时a_n=s_n-s_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1）
得 a_n-a_n-1=4（n=2，3，4…）
故{a_n}是的a₁=1为首项，4为公差的等差数列a_n=4n-3，s_n=2n²-n
（2）
=
=
=
（3）由
∴=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²=n²-（n-1）²=2n-1
令2n-1=2009
得n=1005
所以有在满足条件的自然数n=1005
分析：（1）根据Sn与an的固有关系an=进行求出 a_n-a_n-1=4，从而可证数列{a_n}为等差数列，a_n和s_n关于n表达式亦可求．
（2）应用裂项求和法即可．
（3）由，计算，解关于n的方程．
点评：本题考查等差数列的判定、通项公式、求和．考查了裂项求和法、转化计算能力．