题目内容

已知二次函数(是常数，且)满足条件：，且方程有两个相等实根．

(1)求的解析式；

(2)是否存在实数，使的定义域和值域分别为和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

 

【答案】

(1)方程　f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，

亦即ax2＋(b－1)x＝0，

由方程有两个相等实根，得Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，

∴b＝1.①

由f(2)＝0，得4a＋2b＝0②

由①、②得，a＝－，b＝1，

故　f(x)＝－x2＋x.

(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，

　f(x)＝－x2＋x＝－ (x－1)2＋≤，

则2n≤，即n≤.

∵　f(x)＝－ (x－1)2＋的对称轴为x＝1，

∴当n≤时，　f(x)在[m，n]上为增函数．

于是有即

∴m<n≤，∴.

故存在实数m＝－2，n＝0，

使　f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]．

【解析】略

 

练习册系列答案
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19、已知二次函数f（x）=（a+1）x2+（a2-1）x+1（a为常数）是R上的偶函数．
（1）求出a的值．
（2）若x∈[-1，2]，求f（x）的取值范围．
（3）若x满足方程f（x）=x，则称x为函数f（x）的不动点．求证函数f（x）没有不动点．（写出完整解题过程）
已知二次函数f（x）=x2-x，设直线l：y=t2-t（其中0＜t＜
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2
，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s1（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是s2（t），设g（t）=s1（t）+
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s2（t），当g（t）取最小值时，求t的值．
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f(x)=-
1
2
x2+x
f(x)=-
1
2
x2+x
．
（2012•湛江一模）已知二次函数f（x）满足f(cosx)=sin2x-2a[sin2
x
2
-cos(x+
π
3
)-
3
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sinx]（a是常数，a∈R）．
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已知二次函数 f（x）=ax2+bx+c（x∈R），满足f(0)=f(
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)=0且f（x）的最小值是-
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．设数列{an}的前n项和为Sn，对一切（n∈N*），点（n，Sn）在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）通过bn=
sn
n+c
构造一个新的数列{bn}，是否存在非零常数c，使得{bn}为等差数列；
（3）令cn=
sn+n
n
，设数列{cn•2cn}的前n项和为Tn，求Tn．

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