Question

已知二次函数f（x）=x²-x，设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成的封闭图形的面积是s₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是s₂（t），设g（t）=s₁（t）+

1

2

s₂（t），当g（t）取最小值时，求t的值．

Answer 1

分析：用定积分求解，设直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），再由定积分的几何意义S₁（t），S₂（t），然后求出函数g（t），利用导数研究函数的最值．

解答：据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），由定积分的几何意义知：
g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t）
=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx+

∫

t 1 2

[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[(

x3

3

-

x2

2

)-(t2-t)x]|

t 0

+[(t2-t)x-(

x3

3

-

x2

2

)]|

t 1 2

=-

4

3

t3+

3

2

t2-

1

2

t+

1

12

．
而g′（t）=-4t²+3t-

1

2

=-

1

2

（8t²-6t+1）=-

1

2

（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0⇒t=

1

4

或t=

1

2

，（不合题意舍去）．
当t∈（0，

1

4

）时，g′（t）＜0，g（t）递减；
当t∈（

1

4

，

1

2

）时，g′（t）＞0，g（t）递增；
故当t=

1

4

时，g（t）有最小值．

点评：本题主要考查二次函数解析式和其图象的应用，这里涉及了曲线所围成的面积，要用定积分解决，综合性较强难度较大．