Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{9-{3}^{x}}$
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）若f（x）＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$•3^x，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式有意义，9-3^x≥0可得定义域，根据定义域范围与复合函数的单调性可求值域．
（2）根据指数函数的性质，采用两边平方，转化为二次不等式求解．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{9-{3}^{x}}$，
函数解析式有意义，即9-3^x≥0，
解得：x≤2，
故得f（x）的定义域为（-∞，2]．
∵函数y=9-3^x在x≤2的值域为[0，9）．
∴f（x）=$\sqrt{9-{3}^{x}}$的值域为[0，3）．
（2）f（x）＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$•3^x，即$\sqrt{9-{3}^{x}}$＞$\frac{\sqrt{5}}{4}$•3^x，
两边同时平方，可得：9-3^x＞$\frac{5}{16}$（3^x）²
化简得：5•（3^x）²+16•3^x-144＜0，即（5•3^x+36）（3^x-4）＜0
解得：3^x＜4，
即得：x＜log₃4．
所以实数x的取值范围（-∞，log₃4）．

点评 本题考查了指数函数的定义域和值域的求法，和指数不等式的计算．属于基础题．