Question

求函数f(x)=loga(x+

1

x

)(a＞0且a≠1)的单调区间．

Answer 1

分析：由x+

1

x

＞0 解得函数的定义域，利用函数的单调性的定义证明函数y=x+

1

x

在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．再由复合函数的单调性求出a＞1时，及1＞a＞0时原函数的单调区间．

解答：解：由x+

1

x

＞0 解得x＞0，故函数的定义域为（0，+∞）．
设x₁＜x₂，因为y（x₁）-y（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
故当0＜x₁＜x₂＜1时，y（x₁）-y（x₂）＞0，y（x₁）＞y（x₂），
故当1＜x₁＜x₂ 时，y（x₁）＜y（x₂），y（x₁）＜y（x₂），
故函数y=x+

1

x

在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
再由复合函数的单调性可得
当a＞1时，f（x）=log_ay是增函数，故函数f(x)=loga(x+

1

x

)的减区间是（0，1），增区间是（1，+∞），
当 1＞a＞0时，f（x）=log_ay是减函数，故函数f(x)=loga(x+

1

x

)增区间是（0，1），减区间（1，+∞）．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单调性规律，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．