Question

点O为坐标原点，点F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，过点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．若l倾斜角为，则A、B两点到左准线的距离之和为，右焦点到l的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△AOB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设焦距为2a，c＞0，由点（c，0）到y=-x-c距离为，得c=1．左准线，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，由，得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，由此能求出椭圆的方程．
（2）设l：y=k（x+1），k≠0，由，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，故，，△=8（k²+1）＞0，所以=2．点O到AB距离为，由此能求出△AOB面积的最大值．
解答：解：（1）设焦距为2a，c＞0，由点（c，0）到y=-x-c距离为，得c=1．
故左准线，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
由，
得（a²+b²）x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∴，
∴，
∴a²=2，
∴椭圆的方程为：．
（2）设l：y=k（x+1），k≠0，
由，得（2k²+1）x²+4k²x²+2k²-2=0，
∵，，△=8（k²+1）＞0，
∴
=
=2．
点O到AB距离为，
∵△AOB面积=，
∴=，
当l：x=-1时，，
故在l：x=-1时△AOB面积的最大值为．
点评：本题考查椭圆的方程的求法和求△AOB面积的最大值．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．