Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），依据题意可推断出M是线段FT的中点，则M的坐标可推断出，进而利用，求得x，y和t的关系式；同时利用求得t和y的另一关系式，最后消去t即可求得x和y的关系．
（Ⅱ）设直线TA，TF，TB的斜率依次为k₁，k，k₂，并记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y₁+y₂和2y₁y₂，进而表示出y₁²+y₂²，进而化简k₁+k₂得2k，判断出k₁，k，k₂成等差数列．
解答：解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），
由，得点M是线段FT的中点，则，，
又，
由，得，①
由，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，∴t=y②
由①②消去t，得y²=4x即为所求点P的轨迹C的方程
（Ⅱ）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k₁，k，k₂，并记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
设直线AB方程为x=my+1，得y²-4my-4=0，∴，
∴y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=16m²+8，
∴
=
=
=-t=2k
∴k₁，k，k₂成等差数列
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了考生综合分析问题的能力和基本的计算能力．