Question

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

Answer 1

分析：要想证明对角线互相平分的四边形是平行四边形，我们可以根据平行四边形判断定理，对边平行且相等来证明，但要证明对边平行且相等，可以证明对边表示的向量相等或相反，由此不得得到证明思路．

解答：解：设O为四边形ABCD的对角线交点
若四边形ABCD的角点互相平分
则

OA

=-

OC

，

OB

=-

OD

则

AB

=

OB

-

OA

DC

=

OC

-

OD

=

OB

-

OA

即AB与CD平行且相等
故四边形ABCD为平行四边形
故对角线互相平分的四边形是平行四边形．

点评：要想证明线段平行，我们可以证明线段表示的向量平行（共线），如果要想证明线段平行且相等，则我们可以证明线段表示的向量相等（或相反）．