题目内容
13．已知椭圆x2$+\frac{4}{3}{y}^{2}$=1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任意一点，O为坐标原点，动点M满足|OM|2=|PF1|2+|PF2|2+2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，O、P、M三点共线，过定点Q（0，2）的直线l与动点M的轨迹交于G、H两点（G在Q、H之间）．（I）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点N（m，0）使得NH=NG？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析 （Ⅰ）由向量等式可得$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=4|\overrightarrow{OP}{|}^{2}$，再由O、P、M三点共线可得$\overrightarrow{OM}=±2\overrightarrow{OP}$，设M（x，y），用M的坐标表示P的坐标，把P的坐标代入椭圆方程可得动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）在x轴上存在点N（m，0），使得NH=NG，设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合（$\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{NH}$）•$\overrightarrow{GH}$=0即可求出实数m的取值范围．
解答 解：（Ⅰ）由|OM|2=|PF1|2+|PF2|2+2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
得$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，即$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=（\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}）^{2}$=$（-2\overrightarrow{OP}）^{2}=4|\overrightarrow{OP}{|}^{2}$，
∵O、P、M三点共线，
∴$\overrightarrow{OM}=±2\overrightarrow{OP}$，设M（x，y），则P（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$）或P（-$\frac{x}{2}，-\frac{y}{2}$），
由P在椭圆x2$+\frac{4}{3}{y}^{2}$=1上，得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故动点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）在x轴上存在点N（m，0），使得使得NH=NG．
理由如下：
设l的方程为y=kx+2（k＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
∵直线l与椭圆有两个交点，
∴△=256k2-16（3+4k2）=4（k2-1）＞0，
∴k2＞1，
又∵k＞0，∴k＞1．
设G（x1，y1），H（x2，y2），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{NH}$=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）=（x1+x2-2m，y1+y2）
=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4），
$\overrightarrow{GH}$=（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））．
由于NH=NG，则（$\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{NH}$）•$\overrightarrow{GH}$=0．
∴（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0．
故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0．
即（x2-x1）[（1+k2）（x1+x2）+4k-2m]=0
∵k＞0，∴x2-x1≠0，
∴（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0，
∴（1+k2）（$\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$）+4k-2m=0，解得m=$\frac{-2}{\frac{3}{k}+4k}$，
设y=$\frac{3}{k}+4k$，当k＞1时，y′=-$\frac{3}{{k}^{2}}+4$=$\frac{4{k}^{2}-3}{{k}^{2}}$＞0，
∴函数y=$\frac{3}{k}+4k$在（1，+∞）上单调递增，
∴y＞7，
∴m=$\frac{-2}{y}$＞-$\frac{2}{7}$．
点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为入肺颗粒物．如图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据列出的茎叶图（单位：毫克/每立方米），则甲、乙两地浓度的中位数较低的是乙．