Question

椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，定点A（0，1），若|AM|=|AN|，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的方程；
（II）利用点差法，结合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，从而可得E的坐标，利用E在椭圆内部，建立不等式，即可求直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：（I）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上动点P到左焦点距离的最大值为
∴，∴，∴b=1
∴椭圆C的方程为…（4分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中点E（x，y），则
两方程相减可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴x+4yk=0①
又AE⊥MN，故，即x+ky=k②
由①②知，，即，…（8分）
∵E在椭圆内部，∴
∴k²＜2…（10分）
又k≠0，故…（12分）
点评：本题考查椭圆的性质与标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．