题目内容

已知an=sin
nπ
3
cos
nπ
3
（n∈N*），数列{an}前n项的和为Sn，则S2013的值为（　　）
分析：由二倍角公式可得an=sin
nπ
3
cos
nπ
3
=
1
2
sin
2nπ
3
，可周期为3，前三项的和为0，而2013=671×3，可得S2013的值为0．
解答：解：由二倍角公式可得an=sin
nπ
3
cos
nπ
3
=
1
2
sin
2nπ
3

由周期公式可得T=
2π
2π
3
=3，而a1=
1
2
sin
2π
3
=
3
4
，
a2=
1
2
sin
4π
3
=-
3
4
，a3=
1
2
sin2π=0，
故S2013=a1+a2+a3+…+a2013=
671×（a1+a2+a3）=0
故选B
点评：本题考查数列的求和问题，涉及三角函数的化简以及函数的周期性，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
下列命题：
①△ABC中，若A＜B，则cos2A＜cos2B；
②若A，B，C为△ABC的三个内角，则
4
A
+
1
B+C
的最小值为
9
π

③已知an=sin
nπ
6
+
16
2+sin
nπ
6
（n∈N*），则数列{an}中的最小项为
19
3
；
④若函数f（x）=log2（x+1），且0＜a＜b＜c，则
f(a)
a
＜
f(b)
b
＜
f(c)
c
；
⑤函数f(x)=
x2-2x+5
+
x2-4x+13
的最小值为
29
．
其中所有正确命题的序号是
②③
②③
．
已知
i
=(1，0)，
jn
=(cos2
nπ
2
，sin
nπ
2
)，
Pn
=(an，sin
nπ
2
)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+
jn
)•
Pn
．
（I）求证：数列{a2k-1}是等差数；数列{a2k}是等比数列；（其中k∈N*）；
（II）记an=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n2）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．
（2010•宿松县三模）已知an=sin
nπ
6
+
16
2+sin
nπ
6
(n∈N*)，则数列{an}的最小值为（　　）
已知an=sin
nπ
3
cos
nπ
3
（n∈N*），数列{an}前n项的和为Sn，则S2013的值为（　　）
A．2013B．0C．
3
4
D．
2013
3
4

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