Question

下列命题：
①△ABC中，若A＜B，则cos2A＜cos2B；
②若A，B，C为△ABC的三个内角，则

4

A

+

1

B+C

的最小值为

9

π

③已知an=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

（n∈N^*），则数列{a_n}中的最小项为

19

3

；
④若函数f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，则

f(a)

a

＜

f(b)

b

＜

f(c)

c

；
⑤函数f(x)=

x2-2x+5

+

x2-4x+13

的最小值为

29

．
其中所有正确命题的序号是

②③

．

Answer 1

分析：①先有正弦定理判断出sinA与sinB的大小关系，然后再利用余弦的倍角公式展开进行化简讨论．
②先利用A+B+C=π，进行化简，然后利用基本不等式进行证明．
③将数列转化为基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行判断．
④构造函数

f(x)

x

，转化为斜率的大小进行判断．
⑤先配方，将根式转化为两点间距离之和的最小值来求．

解答：解：①①△ABC中，若A＜B，则a＜b，由正弦定理

a

sin?A

=

b

sin?B

得0＜sinA＜sinB，又cos?2A=1-2sin?²A，cos?2B=1-2sin?²B，所以cos2A＞cos2B，所以①错误．
②因为A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以

α+β

π

=1，原式等价为

4

α

+

1

β

=(

4

α

+

1

β

)?1=(

4

α

+

1

β

)(

α+β

π

)=

1

π

(5+

α

β

+

4β

α

)≥

1

π

(5+2

α β ? 4β α

)=

9

π

，当且仅当

α

β

=

4β

α

，即α=2β时取等号．所以②正确．
③因为an=sin

nπ

6

+

16

2+sin nπ 6

=2+sin?

nπ

6

+

16

2+sin? nπ 6

-2，因为1≤2+sin?

nπ

6

≤3，所以设t=2+sin?

nπ

6

，则1≤t≤3．因为函数y=t+

16

t

-2在区间（0，4）上单调递减，所以在[1，3]上单调递减，所以当t=3时，函数有最小值3+

16

3

-2=

19

3

，则对应数列{a_n}中的最小项为

19

3

，所以③正确．
④令g（x）=

f(x)

x

，则函数g（x）的几何意义为曲线上点与原点连线斜率的大小．由题意可知

f(a)

a

，

f(b)

b

，

f(c)

c

分别看作函数f（x）=log₂（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，由图象可知

f(a)

a

＞

f(b)

b

＞

f(c)

c

，所以④错误．
⑤原式可化简为f(x)=

(x-1)2+4

+

(x-2)2+9

=

(x-1)2+(0-2)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，设点P（x，0），A（1，2），B（2，3），
则原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A关于x轴的对称点D（1，-2）．则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值为|PD|=

(2-1)2+(-2-3)2

=

1+25

=

26

．所以⑤错误．
所有正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．

点评：本题重点考查了基本不等式的应用，以及对复杂问题，要根据几何意义进行转化的数学思路．对学生的转化能力，运算能力都有很高的要求，这类问题的难度较大，综合性较强．