Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若方程在上有两个不等实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的极小值为，无极大值.

（2）.

【解析】分析：（1）求导函数 ，令，求得极值点为，然后通过函数的单调性求得极值。

（2）分类讨论的不同取值情况。在不同取值时，讨论极值点、单调性和最值，从而判断满足存在两个零点的条件。

详解：（1）

因为，

所以，

令，得，

且时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以的极小值为，无极大值.

（2）方程在上有两个不等实根，即函数在上有两个零点，

①当时，由（1）可知，在单调递减，在单调递增，

又因为，不合题意，舍去，

②当时，时，，

时，，

单调递增区间为和，单调递减区间为，

要使函数在上有两个零点，必须，

得，

所以在单调递减，在单调递增，

所以，得，

又因为，

所以

③时，在单调递增，不合题意；

④当时，时，，

时，，

单调递增区间为和，单调递减区间为，

因为，要使函数在上有两个零点，

则，

得

又，

综上所述，