Question

【题目】如图，椭圆 =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2 ，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3 ，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．

（1）求椭圆的方程；
（2）证明： 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可得 ，∴ ，

∴椭圆的方程为

（2）解：A（﹣2，0），B（2，0），设M（﹣2，y0），P（x1，y1），

则 =（x1，y1）， =（﹣2，y0）．

直线BM的方程为： ，即 ，

代入椭圆方程x2+2y2=4，得 ，

由韦达定理得 ，

∴ ，∴ ，

∴ =﹣2x1+y0y1=﹣ + = =4．

即 为定值．

【解析】（1）利用已知条件列出 ，求解可得椭圆的方程．（2）设M（﹣2，y0），P（x1 ， y1），推出 =（x1 ， y1）， =（﹣2，y0）．直线BM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理得x1 ， y1 ， 然后求解 为定值．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．