Question

【题目】在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.，当点在圆上运动时，

（1）求点的轨迹的方程；

（2） 若，直线交曲线于、两点（点、与点不重合），且满足.为坐标原点，点满足，证明直线过定点，并求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) . (2).

【解析】试题分析：

（1）由相关点法得到M(x0,y0),N（x,y），则x=x0,y=（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据条件结合韦达定理得到，， ，进而求得范围.

解析：

(1) 设M(x0,y0),N（x,y），则x=x0,y=y0,代入圆方程有.

即为N点的轨迹方程.

(2)当直线垂直于轴时,由消去整理得,

解得或,此时,直线的斜率为；

当直线不垂直于轴时,设,直线:(),

由,消去整理得,

依题意,即(*),

且,,

又,所以

,

所以,即,解得满足(*),

所以 ,故,

故直线的斜率 ,

当时,,此时；

当时,,此时；

综上,直线的斜率的取值范围为.