Question

已知f(x)=是奇函数。

（1）求a，b的值；

（2）求f(x)的单调区间，并加以证明；

（3）求f(x)的值域。

Answer 1

答案：
解析：

(1)由，f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即－＝0恒成立。     也就是2(α＋b)x2＋2α＝0对任何实数α均成立，从而     。 (2)∵f(x)＝(x∈R)，是奇函数，     ∴只要研究f(x)在(0，＋∞)的单调区间即可，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则     f(x1)－f(x2)＝     =,     ∵，     x1，x2∈[0，1)时，x1x2－1＜0，     x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1＞0，     ∴当x1，x2∈[0，1)时，f(x1)－f(x2)＞0，函数，y＝f(x)是增函数；     ∴当x1，x2∈[0，＋∞]时f(x1)－f(x2)＜0，函数y＝f(x)是减函数；     又∵f(x)是奇函数，∴f(x)在[－1，0]上是增函数；在[－∞，0]上是减函数。     注意到u∈[0，1]，υ∈[－1，0]时，恒有f(u)≥f(υ)，等号仅在u＝υ＝0时取得，从而f(x)在[－1，1]上是递增函数。     综上知，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递增区间是[－1，1]。     (2)由(2)可知y＝f(x)在(－∞，－1]上是递减函数，在[－1，1]上是递增函数，在[1，＋∞)上是减函数，并注意到函数的图象不问断，以及x→±∞时，f(x)＝∴函数f(x)的值域是[f(－1)，f(1)]=。