Question

已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂
①求证：m²为定值，并求出此定值；
②求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件，设c=，a=2k，则b=k，椭圆方程为，把点（，）代入，得k²=1，由此能求出椭圆方程．
（2）①由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，．直线OP，OQ的斜率依次为k₁，k₂，，由此解得．
②，令，得，由此能求出△OPQ面积的取值范围．
解答：解：（1）由题设条件，设c=，a=2k，则b=k，
∴椭圆方程为，
把点（，）代入，得k²=1，
∴椭圆方程为．
（2）①由，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∴．
∵直线OP，OQ的斜率依次为k₁，k₂，
∴，
∴2kx₁x₂=m（x₁+x₂），由此解得，验证△＞0成立．
②，令，
得，
∴S_△OPQ∈（0，1）．
点评：本题考查椭圆的方程和求法和直线与椭圆的位置关系的综合运用，解题时要注意椭圆性质的灵活运用．