Question

设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值．
（1）当的解析式，当Z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）是偶函数（x∈R）；
（3）若，求证方程f（x）-有且只有一个实根，并求出这个实根．

Answer 1

【答案】分析：（1）由定义知当时，x与0距离最近，函数f（x）表示实数x与0之差绝对值即f（x）=|x|，，当时，k为与x最近的一个整数，即f（x）=|x-k|
（2）函数f（x）的定义域为R，对任何x∈R存在k∈Z，满足故只需证明时，f（-x）=f（x）即可
（3）由于，的正负由x与1的大小决定，故分x＞1，x=1，＜x＜1，0＜x≤讨论方程根的情况，注意在每种情况下由f（x）定义，将方程等价变形为关于x的方程，通过研究函数f（x）-的性质研究根的个数．
解答：解：（1）当时，由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，．
当时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故
（2）对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足

即Z）．
由（1）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），即f（x）是偶函数．
（3）．
①当，∴没有大于1的实根；
②容易验证x=1为方程|x-k|-的实根；
③当=．
设．

所以当为减函数，H（x）＞H（1）=0．所以方程没有的实根；
④当．
设，G（x）为减函数，H（1）=0，所以方程没有的实根． 综上可知，当时，方程f（x）-有且仅有一个实根，实根为1．
点评：本题综合考察了函数的奇偶性的判断，函数零点问题与函数性质的关系，导数的工具性作用以及对新定义的理解和运用