Question

设函数f（x）表示实数x与x的给定区间内整数之差绝对值的最小值．
（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，求出f(x)的解析式，当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z）时，写出用绝对值符号表示的f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）是偶函数（x∈R）；
（3）若e-

1

2

＜a＜1，求证方程f（x）-loga

x

=0有且只有一个实根，并求出这个实根．

Answer 1

分析：（1）由定义知当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，x与0距离最近，函数f（x）表示实数x与0之差绝对值即f（x）=|x|，，当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)时，k为与x最近的一个整数，即f（x）=|x-k|
（2）函数f（x）的定义域为R，对任何x∈R存在k∈Z，满足

k- 1 2 ≤x≤k+ 1 2 ，f(x)=|x-k|．

故只需证明-

k- 1 2 ≤-x≤-k+ 1 2

时，f（-x）=f（x）即可
（3）由于e-

1

2

＜a＜1，loga

x

的正负由x与1的大小决定，故分x＞1，x=1，

1

2

＜x＜1，0＜x≤

1

2

讨论方程根的情况，注意在每种情况下由f（x）定义，将方程等价变形为关于x的方程，通过研究函数f（x）-loga

x

的性质研究根的个数．

解答：解：（1）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，由定义知：x与0距离最近，f（x）=|x|，x∈[-

1

2

，

1

2

]．
当x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)时，由定义知：k为与x最近的一个整数，故f(x)=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

](k∈Z)
（2）对任何x∈R，函数f（x）都存在，且存在k∈Z，满足

k- 1 2 ≤x≤k+ 1 2 ，f(x)=|x-k|．由k- 1 2 ≤x ≤k+ 1 2 可以得出-k- 1 2 ≤-x≤-k+ 1 2 (k∈z)

即-x∈[-k-

1

2

，-k+

1

2

](-k∈Z）．
由（1）的结论，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），即f（x）是偶函数．
（3）f(x)-loga

x

=0，即|x-k|-

1

2

logax=0．
①当x＞1时，|x-k|≥0＞

1

2

logax，∴|x-k|-

1

2

logax=0没有大于1的实根；
②容易验证x=1为方程|x-k|-

1

2

logax=0的实根；
③当

1

2

＜x＜1时，方程|x-k|-

1

2

logax=0变为1-x-

1

2

logax=0．
设H(x)=

1

2

logax-(1-x)(

1

2

＜x＜1)．

则H′(x)= 1 2xlna +1

＜ 1 2xlne- 1 2 +1 =- 1 x +1 ＜0，

所以当

1

2

＜x＜1时，H(x)为减函数，H（x）＞H（1）=0．所以方程没有

1

2

＜x＜1的实根；
④当0＜x≤

1

2

时，方程|x-k|-

1

2

logax=0变为x-

1

2

logax=0．
设G(x)=

1

2

logax-x(0＜x≤

1

2

)，G（x）为减函数，G(x)≥G(

1

2

)=H(

1

2

)＞H（1）=0，所以方程没有0＜x≤

1

2

的实根． 综上可知，当e-

1

2

＜a＜1时，方程f（x）-loga

x

=0有且仅有一个实根，实根为1．

点评：本题综合考察了函数的奇偶性的判断，函数零点问题与函数性质的关系，导数的工具性作用以及对新定义的理解和运用