Question

已知定点A(0,1)、B(0，-1)、C(1,0)，动点P满足：·=k||².

(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；

(2)当k=2时，求|2+|的最大、最小值.

Answer 1

解：(1)设动点坐标为P(x,y),则=(x,y-1), =(x,y+1), =(1-x,-y).

    ∵·=k|PC|²,

    ∴x²+y²-1=k［(x-1)²+y²］,

    (1-k)x²+(1-k)y²+2kx-k-1=0.

    若k=1，则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线.

    若k≠1，则方程化为(x+)²+y²=()².

    表示以(,0)为圆心，以为半径的圆.

    (2)当k=2时，方程化为(x-2)²+y²=1,

    ∵2+=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1),

    ∴|2+|=.

    又x²+y²=4x-3,

    ∴|2+|=.

    ∵(x-2)²+y²=1,

    ∴令x=2+cosθ,y=sinθ.

    则36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6cos(θ+φ)+46∈［46-6,46+6］.

    ∴|2+|的最大值为=3+，最小值为=-3.