Question

双曲线两渐近线方程是3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一准线方程为5y+4=0，求这个双曲线的方程．（12分）

Answer 1

分析：先由两渐近线联立方程求得双曲线的中心，再平移坐标轴，将原点移到O′（2，1），则可得到原坐标与新坐标之间的关系，进而得到在新坐标系下双曲线的渐进性方程和准线方程，设实半轴为a，虚半轴为b，进而求得a和b，得到双曲线方程，再把方程平移到原坐标系中即可．

解答：解：由方程组：3x-4y-2=0，3x+4y-10=0，
解得中心O′（2，1）．平移坐标轴，将原点移到O′（2，1），
则原坐标与新坐标之间的关系为：x=x′+2，y=y′+1．
在新坐标系x′o′y′下，双曲线的渐近线为x′=-

4

3

y′，
一准线方程是y′=-

9

5

．
设实半轴为a，虚半轴为b，
则

b

a

=

4

3

，

a2

a2+b2

=

9

5

，
解得a=3，b=4，
∴双曲线在新坐标系下的方程是

y2

9

-

x2

16

=1，
故原坐标系下，所求曲线方程为

(y-1)2

9

-

(x-2)2

16

=1．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．当双曲线的中心不在原点时，必须先把坐标原点平移到双曲线中心．