Question

（2011•温州二模）已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦点，若点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（　　）

• A．x±

  3

  y=0
• B．

  3

  x±y=0
• C．x±

  2

  y=0
• D．

  2

  x± y=0

Answer 1

分析：先利用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦点，求得a²+b²=4，再利用点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形，求得交点坐标，从而可求双曲线的标准方程，进而可求双曲线的渐近线方程

解答：解：不妨设P是两曲线在第一象限的交点，P（x，y）
由题意，椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的焦点为（±2，0）
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），与椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的共同焦点
∴a²+b²=4①
∵点P是两曲线的一个交点，且△PF₁F₂为等腰三角形
∴|PF₁|=|F₁F₂|=4
∵椭圆的左准线方程为：x=-

a2

c

=-

9

2

∴

4

x+ 9 2

=

2

3

∴x=

3

2

∵P在椭圆

x2

9

+

y2

5

=1上
∴y2=

15

4

∵P在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

9 4

a2

-

15 4

b2

=1②
由①②得：

9

4-b2

-

15

b2

=4
∴b²=3，a²=1
∴b=

3

，a=1
∴双曲线方程为：x2-

y2

3

=1
∴双曲线的渐近线方程是y=±

b

a

x=±

3

x
故选B．

点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查椭圆的定义的运用，属于中档题．