Question

设F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个焦点，离心率为

5

2

，P是双曲线上一点，若∠F₁PF₂=90°，S△F1PF2=1，则双曲线的渐近线方程是

y=±

1

2

x

，该双曲线方程为

x2

4

-y2=1

．

Answer 1

分析：设出双曲线方程，利用双曲线的定义列出一个等式，在△F₁PF₂中利用勾股定理得到一个等式，利用三角形的面积公式得一方程，利用双曲线的离心率公式得一方程，解方程组求出双曲线的方程即可．

解答：解：不妨设点P在双曲线的右支上，
设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，|PF₁|=m，|PF₂|=n则有
m-n=2a①
∠F₁PF₂=90⁰
由勾股定理得
m²+n²=4c²②
∵S△PF1F2=1
∴

1

2

mn=1③
∵离心率为2
∴

c

a

=

5

2

④
解①②③④a=2，c=

5

∴b²=c²-a²=1
则双曲线的渐近线方程是 y=±

1

2

x，该双曲线方程为

x2

4

-y2=1．
故答案为：y=±

1

2

x；

x2

4

-y2=1．

点评：求圆锥曲线的方程问题，一般利用的方法是待定系数法；解圆锥曲线上的一点与两个焦点构成的焦点三角形问题，一般考虑余弦定理及三角形的面积公式．