Question

【题目】关于x的方程22x﹣（m﹣1）2x+2=0在x∈[0，2]时有唯一解，求m取值范围．

Answer 1

【答案】解：令2x=t，则t∈[1，4]， ∴方程t2﹣（m﹣1）t+2=0在[1，4]上有唯一解．
①若△=（m﹣1）2﹣8=0，即m=1±2 时，
若m=1+2 ，则t= ，符合题意，
若m=1﹣2 ，则t=﹣ ，不符合题意．
②若△=（m﹣1）2﹣8＞0，即m＜1﹣2 或m＞1+2 时，
若t=1是方程的解，由根与系数的关系可知t=2也是方程的解，与方程在[1，4]上有唯一解矛盾；
若t=4是方程的解，由根与系数的关系可知t= 也是方程的解，符合题意；
此时m﹣1=4+ ，∴m= ．
若方程的解在（1，4）上，根据零点的存在性定理可知（4﹣m）（22﹣4m）＜0，
解得4＜m＜ ．
综上，m的取值范围是（4， ]∪{1+2 }
【解析】令2x=t，在方程t2﹣（m﹣1）t+2=0在[1，4]上有唯一解，对判别式和区间端点值进行讨论，利用二次函数的性质和零点的存在性定理得出a的范围．