Question

设a,b为正数,求证:不等式+1＞①成立的充要条件是:对于任意实数x＞1,有ax+＞b.②

Answer 1

证明:设f(x)=ax+(x＞1),?

那么不等式②对x∈(1,+∞)恒成立的充要条件是函数f(x)(x＞1)的最小值大于b.?

∵f(x)=ax+1+=(a+1)+a(x-1)+≥(a+1)+2a=(a+1)²,?

当且仅当a(x-1)= ,x=1+时,上式等号成立,?

故f(x)的最小值是(a+1)².?

因此,不等式②对于x＞1恒成立的充要条件是(+1)²＞b+1＞.