Question

4．如图，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a＞b），在AB，AD，CB，CD上，分别截取AE=AH=CF=CG=x（x＞0），设四边形EFGH的面积为y．
（1）写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系；
（2）求当x为何值时y取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）利用三角形全等和矩形ABCD面积减去4个三角形面积，EFGH的面积即可得y与x之间的函数关系．
（2）利用配方，讨论二次函数最大值即可．

解答 解：AB=a，BC=b（a＞b），AE=AH=CF=CG=x（x＞0），四边形EFGH的面积为y．
（1）∵△AEH≌△CFG，△EBF≌△GDH，
∴y=S_矩形ABCD-2S_△AEH-2S_△EFB=ab-2×$\frac{1}{2}$x²-2×$\frac{1}{2}$（a-x）（b-x）．
=-2x²+（a+b）x（0＜x≤b）．
（2）y=-2（x-$\frac{a+b}{4}$）²+$\frac{1}{8}$（a+b）²．
①如图1，当b≥$\frac{a+b}{4}$，即a＞b≥$\frac{a}{3}$时，
当x=$\frac{a+b}{4}$时，y_max=$\frac{1}{8}$（a+b）²；
②如图2，当0＜b＜$\frac{a+b}{4}$，即0＜b＜$\frac{a}{3}$时，
y在区间（0，b]上是增函数，
当x=b时，y_max=（a-b）b．

点评 本题考查了函数解析式的求法，二次函数最值的讨论和运用，属于中档题．