Question

（1）求证：当a≥1时，不等式e^x-x-1≤对于n∈R恒成立．
（2）对于在（0，1）中的任一个常数a，问是否存在x＞0使得e^x-x-1≤成立？如果存在，求出符合条件的一个x；否则说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）：分x≥0和x＜0讨论：（Ⅰ）在x≥0时，要使成立；（Ⅱ）在x≤0时，要使成立．利用导数研究函数的单调性，从而得到，原不等式在a≥1时，恒成立；
（2）先将变形为，要找一个X＞0，使此式成立，只需找到函数的最小值，满足t（x）min＜0即可，对t（x）求导数，研究其单调性和最值，最后得出可找到一个常数x=-lna（0＜a＜1），使得不等式成立．
解答：解：（1）证明：（Ⅰ）在x≥0时，要使成立．
只需证：即需证：①
令，求导数
∴，又a≥1，求x≥0，故y'（x）≥0
∴y（x）为增函数，故y（x）≥y（0）=1，从而①式得证
（Ⅱ）在x≤0时，要使成立．
只需证：，即需证：②
令，求导数得m'（x）=-xe^-2x[e^x+a（x-1）]
而φ（x）=e^x+a（x-1）在x≤0时为增函数
故φ（x）≤φ（0）=1-a≤0，从而m（x）≤0
∴m（x）在x≤0时为减函数，则m（x）≥m（0）=1，从而②式得证
由于①②讨论可知，原不等式在a≥1时，恒成立…（6分）
（2）解：将变形为③
要找一个X＞0，使③式成立，只需找到函数的最小值，
满足t（x）min＜0即可，对t（x）求导数
令t'（x）=0得，则x=-lna，取X=-lna
在0＜x＜-lna时，t'（x）＜0，在x＞-lna时，t'（x）＞0t（x）在x=-lna时，取得最小值
下面只需证明：，在0＜a＜1时成立即可
又令，对p（a）关于a求导数
则，从而p（a）为增函数
则p（a）＜p（1）=0，从而得证
于是t（x）的最小值t（-lna）＜0
因此可找到一个常数x=-lna（0＜a＜1），使得③式成立   …（14分）
点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，考查了分类讨论的思想与转化的思想．解决本题同时应注意研究导函数的单调性得出导数的正负，从而得出原函数的单调性的技巧．