题目内容
已知函数f(x)=2x+
的定义域为(0,1](a为实数).
(1)求证:当a=1时,函数y=f(x)在区间[
,1]上单调递增;
(2)当a>0时,函数y=f(x)在x∈(0,1]上是否有最大值和最小值,如果有,求出函数的最值以及相应的x的值.
a |
x |
(1)求证:当a=1时,函数y=f(x)在区间[
| ||
2 |
(2)当a>0时,函数y=f(x)在x∈(0,1]上是否有最大值和最小值,如果有,求出函数的最值以及相应的x的值.
分析:(1)将a=1代入,求出函数的解析式,利用定义法,可证明出函数y=f(x)在区间[
,1]上单调递增;
(2)当a>0时,利用导数法,可以得到函数y=f(x)的单调性,进而分析1与极值点的关系,可得答案.
| ||
2 |
(2)当a>0时,利用导数法,可以得到函数y=f(x)的单调性,进而分析1与极值点的关系,可得答案.
解答:证明:(1)当a=1时,f(x)=2x+
.
取x1,x2∈[
,1],且x1<x2,则
x1-x2<0,
<x1•x2<1
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)
<0
∴f(x1)<f(x2)
所以,函数y=f(x)在区间[
,1]上单调递增
解:(2)当a>0时,∵f(x)=2x+
∴f′(x)=2-
令f′(x)=0,则x=
∵x∈(0,
]时,f′(x)≤0;x∈[
,+∞)时,f′(x)≥0;
∴函数y=f(x)在区间(0,
]上单调递减,在区间[
,+∞)上单调递增.
所以函数没有最大值.
当
≥1时,a≥2,f(x)min=f(1)=2+a
当
<1时,0<a<2,f(x)min=f(
)=2
a
1 |
x |
取x1,x2∈[
| ||
2 |
x1-x2<0,
1 |
2 |
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)
2x1•x2-1 |
x1•x2 |
∴f(x1)<f(x2)
所以,函数y=f(x)在区间[
| ||
2 |
解:(2)当a>0时,∵f(x)=2x+
a |
x |
∴f′(x)=2-
a |
x2 |
令f′(x)=0,则x=
| ||
2 |
∵x∈(0,
| ||
2 |
| ||
2 |
∴函数y=f(x)在区间(0,
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2 |
| ||
2 |
所以函数没有最大值.
当
| ||
2 |
当
| ||
2 |
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2 |
2 |
点评:本题考查的知识点是函数最值的应用,函数单调性判断与证明,定义法和导数法是最常见的判断函数单调性的方法,一定要熟练掌握.
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