题目内容

已知函数f(x)=2x+
a
x
的定义域为(0,1](a为实数).
(1)求证:当a=1时,函数y=f(x)在区间[
2
2
,1]上单调递增;
(2)当a>0时,函数y=f(x)在x∈(0,1]上是否有最大值和最小值,如果有,求出函数的最值以及相应的x的值.
分析:(1)将a=1代入,求出函数的解析式,利用定义法,可证明出函数y=f(x)在区间[
2
2
,1]上单调递增;
(2)当a>0时,利用导数法,可以得到函数y=f(x)的单调性,进而分析1与极值点的关系,可得答案.
解答:证明:(1)当a=1时,f(x)=2x+
1
x

取x1,x2∈[
2
2
,1],且x1<x2,则
x1-x2<0,
1
2
<x1•x2<1
f(x1)-f(x2)=(x1-x2
2x1x2-1
x1x2
<0
∴f(x1)<f(x2
所以,函数y=f(x)在区间[
2
2
,1]上单调递增
解:(2)当a>0时,∵f(x)=2x+
a
x

∴f′(x)=2-
a
x2

令f′(x)=0,则x=
2
a
2

∵x∈(0,
2
a
2
]时,f′(x)≤0;x∈[
2
a
2
,+∞)时,f′(x)≥0;
∴函数y=f(x)在区间(0,
2
a
2
]上单调递减,在区间[
2
a
2
,+∞)上单调递增.
所以函数没有最大值.
2
a
2
≥1时,a≥2,f(x)min=f(1)=2+a
2
a
2
<1时,0<a<2,f(x)min=f(
2
a
2
)=2
2
a
点评:本题考查的知识点是函数最值的应用,函数单调性判断与证明,定义法和导数法是最常见的判断函数单调性的方法,一定要熟练掌握.
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