题目内容
已知函数f（x）=x2-x+a+1（1）若f（x）≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．
（2）求f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．
【答案】分析：（1）根据题意，函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴不相交，由此结合根的判别式建立关于a的不等式，解之即可得到实数a的取值范围；
（2）因为函数的图象对应的抛物线开口向上，关于直线x=
对称，所以分a
和a
时两种情况加以讨论，结合二次函数的单调性进行求解，即可得到f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．
解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x2-x+a+1，且f（x）≥0对一切实数x恒成立，
∴△=（-1）2-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-
因此，实数a的取值范围是[-
，+∞）．
（2）配方，得f（x）=x2-x+a+1=（x-
）2+a+
①当a
时，函数在（-∞，a]上为减函数，所以最小值为f（a）=a2+1=g（a）；
②当a
时，函数在（-∞，
]上为减函数，在（
，a]上是增函数
此时，f（x）的最小值为f（
）=a+
因此f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式为：
g（a）=.
．
点评：本题给出含有字母参数a的二次函数，讨论函数恒成立并求函数在区间（-∞，a]上的最小值．着重考查了二次的图象与性质、分类讨论的思想和分段函数等知识，属于基础题．
（2）因为函数的图象对应的抛物线开口向上，关于直线x=
对称，所以分a
和a
时两种情况加以讨论，结合二次函数的单调性进行求解，即可得到f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式．解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x2-x+a+1，且f（x）≥0对一切实数x恒成立，
∴△=（-1）2-4（a+1）≤0，即-4a-3≤0，解之得a≥-
因此，实数a的取值范围是[-
，+∞）．（2）配方，得f（x）=x2-x+a+1=（x-
）2+a+
①当a
时，函数在（-∞，a]上为减函数，所以最小值为f（a）=a2+1=g（a）； ②当a
时，函数在（-∞，
]上为减函数，在（
，a]上是增函数此时，f（x）的最小值为f（
）=a+
因此f（x）在区间（-∞，a]上的最小值g（a）的表达式为：
g（a）=.
．点评：本题给出含有字母参数a的二次函数，讨论函数恒成立并求函数在区间（-∞，a]上的最小值．着重考查了二次的图象与性质、分类讨论的思想和分段函数等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|