Question

【题目】已知函数且

（Ⅰ）当时，求函数的图像在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时,函数在区间上的最小值为； 当或时,函数在区间上的最小值为； 当或时,函数在区间上的最小值为；当时,函数在区间上的最小值为．

【解析】分析：(Ⅰ)当时,, 据此可得切线方程为

(Ⅱ)由题意可得, 分类讨论有：当时,函数在区间上的最小值为； 当或时,函数在区间上的最小值为； 当或时,函数在区间上的最小值为；当时,函数在区间上的最小值为．

详解：(Ⅰ)当时,,

则切线的斜率为又,

所以函数的图象在处的切线方程为,即

(Ⅱ)因为,

若,令,得；令,得；

故函数在区间上单调递减,在区间上单调递增．

当时,函数在区间上单调递减,

故函数在区间上的最小值为；

当时,函数在区间上单调递增,

故函数在区间上的最小值为；

当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,

故函数在区间上的最小值为；

若, 令, 得；令,得；

故函数在区间上单调递减,在区间上单调递增．

当,即时,函数在区间上单调递减,

故函数在区间上的最小值为；

当,即 时,函数在区间上单调递增,

故函数在区间上的最小值为；

当,即时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,

故函数在区间上的最小值为.

综上,当时,函数在区间上的最小值为；

当或时,函数在区间上的最小值为；

当或时,函数在区间上的最小值为；

当时,函数在区间上的最小值为．