Question

在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k．
（1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
（2）若对任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设．
①求证：{b_k}成等差数列，并指出其公差；
②若d₁=2，试求数列{d_k}的前k项的和D_k．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，由此能求出a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1的值．
（2）①由a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，知2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，再由，能够证明{b_k}是等差数列，且公差为1．
②由d₁=2，得a₃=a₂+2，解得a₂=2，或a₂=-1．由此进行分类讨论，能够求出D_k．
解答：解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，公比q_k=2（k∈N^*），
∴，
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1==．
（2）①∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，
而，a_2k+2=a_2k+1•q_k+1，
∴，则，
得，
∴，即b_k+1-b_k=1，
∴{b_k}是等差数列，且公差为1．
②∵d₁=2，∴a₃=a₂+2，
则有，
解得a₂=2，或a₂=-1．
（i）当a₂=2时，q₁=2，∴b₁=1，
则b_k=1+（k-1）×1=k，
即，得，
∴=，
则
=
=（k+1）²，
∴，
则d_k=a_2k+1-a_2k=k+1，
故．
（ii）当a₂=-1时，q_k=-1，
∴，则
=k-．
即，得，
∴a_2k+1=
=××…××1=（k-）²．
则=（2k-1）（2k-3），
∴d_k=a_2k+1-a_2k=4k-2，
从而D_k=2k²，
综上所述，D_k=，或．
点评：本题考查数列的前n项和的计算，等差数列的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．