Question

如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥EC,且EC=AC=2BD,M是AE的中点.

求证：（1）DE=AD；

（2）平面BDM⊥平面ECA.

Answer 1

思路点拨：（1）要证明DE=AD,只需要证明Rt△DFE≌Rt△ABD;（2）注意点M为EA的中点,可取AC的中点N,先证明点N在平面BDM内，再证明平面BDM经过平面ECA的一条垂线即可.

证明：（1）取EC的中点F,连结DF.

∵EC⊥BC,易知DF∥BC,∴DF⊥EC.

在Rt△DFE和Rt△ABD中,FE=EC=BD,DF=BC=AB,∴Rt△DFE≌Rt△ABD.故DE=AD.

（2）取AC的中点N,连结MN、BN,则MN∥EC，MN=EC.

∴MN∥BD，即点N在平面BDM内.

又EC⊥平面ABC，

∴EC⊥BN.

又AC⊥BN,∴BN⊥平面ECA.

又∵平面BDM经过BN,

∴平面BDM⊥平面ECA.

［一通百通］ 有关面面垂直的判定问题，通常情况下可以根据面面垂直的判定定理来考虑，将问题转化为证明线面垂直，从而将问题证明.