Question

2．已知函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）若f（1）=0，求f（f（m））；
（2）若m=4，求函数f（x）在区间[1，5]的值域．

Answer 1

分析 （1）直接利用f（1）=0，求出m，然后求解f（f（m））；
（2）m=4，化简函数f（x）的解析式，然后求解在区间[1，5]的值域．

解答 解：函数f（x）=x|x-m|+2x-3（m∈R）．
（1）f（1）=0，可得：|1-m|+2-3=0，解得m=0或m=2，
m=0时，f（x）=x|x|+2x-3，f（f（0））=f（-3）=-9-6-3=-18；
m=2时，f（x）=x|x-2|+2x-3，f（f（2））=f（1）=0；
（2）若m=4，f（x）=x|x-4|+2x-3=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x-3，x≥4\\-{x}^{2}+6x-3，x＜4\end{array}\right.$．
x∈[4，5]，函数f（x）=x²-2x-3的对称轴为x=1，函数在x∈[4，5]是单调增函数，f（x）∈[5，12]；
x∈[1，4]，函数f（x）=-x²+6x-3的对称轴为x=3，函数在x∈[1，3]是单调增函数，[3，4]单调减函数，
可得f（x）∈[2，9]；
f（x）在区间[1，5]的值域[2，12]．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的值域的求法，考查计算能力．