Question

18．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C：ρ=3．
（1）求直线l被曲线C所截得的弦长；
（2）求（1）中弦的中点的坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程．利用$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$可把曲线C：ρ=3，化为直角坐标方程．利用点到直线的距离公式求出圆心C（0，0）到直线l的距离d，再利用小城故事：弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）．把x=2y-3代入圆的方程可得：5y²-12y=0，解出交点坐标，再利用中点坐标公式即可得出．

解答 解：（1）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为：x-2y+3=0．
曲线C：ρ=3，化为x²+y²=9，r=3．
∴圆心C（0，0）到直线l的距离d=$\frac{3}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴直线l被曲线C所截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{9-（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）．
把x=2y-3代入圆的方程可得：5y²-12y=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{5}}\\{x=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3}{5}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{6}{5}$．
∴弦AB的中点的坐标为$（-\frac{3}{5}，\frac{6}{5}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、中点坐标公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．