Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'．求证：A'D⊥EF
（2）当BE=BF=

1

4

BC时，求三棱锥A'-EFD的体积．

Answer 1

（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，
∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．
∴A'D⊥平面A'EF．
又∵EF?平面A'EF，
∴A'D⊥EF．
（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形
故折叠后A′D=2，A′E=A′F=

3

2

，EF=

2

2

则cos∠EA′F=

( 3 2 )2+( 3 2 )2-12

2× 3 2 × 3 2

=

8

9

则sin∠EA′F=

17

9

故△EA′F的面积S_△EA′F=

1

2

•A′E•A′F•sin∠EA′F=

17

8

由（1）中A′D⊥平面A′EF
可得三棱锥A'-EFD的体积V=

1

3

×

17

8

×2=

17

12

．