Question

【题目】如图所示，已知三棱柱中， ， ， ．

（1）求证： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析: （1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值.

试题解析:（1）∵四边形为平行四边形，且， ，

∴为等边三角形，

取中点，连接， ，则，

∵，∴，

∵， 平面， 平面，

∴平面，∴．

（2）∵为等边三角形， ，∴，

∵在中， ， ， 为中点，

∴，

∵， ，∴，

∴，

又，

∴平面．

以为原点， ， ， 方向为， ， 轴的正向，建立如图所示的坐标系， ， ， ， ，

则，则， ， ，

则平面的一个法向量，

设为平面的法向量，则令，∴，

∴，

∴．

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.