题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=-3，则f（2013）= ．
考点：抽象函数及其应用
专题：函数的性质及应用
分析：令x=-2，可求得f（-2）=f（2）=0，从而可得f（x）是以4为周期的函数，结合f（1）=-3，求得f（2013）的值．
解答：
解：∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2，
∴f（-2+4）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0，
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，又f（1）=-3
f（2013）=f（503×4+1）=f（1）=-3
答案为：-3
令x=-2，
∴f（-2+4）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0，
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，又f（1）=-3
f（2013）=f（503×4+1）=f（1）=-3
答案为：-3
点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，求得f（2）=0是关键，考查函数的周期性，属于中档题．
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