Question

（1）若指数函数y=a^x的图象与直线y=x相切，则a=

e 

1

e

；
（2）如果函数f（x）=a^x-log_ax不存在零点，则a的取值范围为

(e

1

e

，+∞)

．

Answer 1

分析：（1）先设切点坐标为（m，m），然后得到两个等式f（m）=m，f'（m）=1，利用消元法消去m，最后求出a即可．
（2）由于函数f（x）=a^x-log_ax不存在零点，故函数y=a^x与y=log_ax不存在交点，即函数y=a^x的图象不与直线y=x相交，由（1）知，指数函数y=a^x的图象与直线y=x相切，则a=e 

1

e

，故a的取值范围可知．

解答：解：（1）∵函数f（x）=a^x（a＞1）的图象与直线y=x图象相切
∴设切点坐标为（m，m）且a^m=m，f'（m）=a^mlna=1
∴mlna=lnm=1
∴m=e，a=e 

1

e

；
（2）∵函数f（x）=a^x-log_ax不存在零点，
∴函数y=a^x与y=log_ax不存在交点，
由于函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，
则函数y=a^x的图象不与直线y=x相交，
由（1）知，指数函数y=a^x的图象与直线y=x相切时a为e 

1

e

，
则a的取值范围为（e 

1

e

，+∞）．
故答案为：e 

1

e

；（e 

1

e

，+∞）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及对数方程的求解，属于中档题．