Question

11．如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；
 （Ⅱ）若HE=4，求ED．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BE为圆O的切线，BD为圆O的弦，根据弦切角定理得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，等量代换及圆周角定理即可得证；
（Ⅱ）由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再由第一问的结论∠DBE=∠DBH，求出ED的长即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，
∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB，
由AD为∠DAB=∠DAC的平分线知∠DAB=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，
∴∠ADB=90°，
又由（1）得∠DBE=∠DBH，
∵HE=4，
∴ED=2．

点评 此题考查了与圆有关的比例线段，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．