Question

已知点P（x，y）是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点．
（1）求2x+3y的取值范围；
（2）求椭圆上的点到直线2x+3y+7

2

=0的最短距离．

Answer 1

（1）由P（x，y）是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点．
可设

x=3cosα y=2sinα

（0≤α≤2π）
∴2x+3y=6cosα+6sinα=6

2

sin(α+

π

4

)
∵0≤α≤2π∴

π

4

≤α+ 

π

4

≤

9π

4

∴-1≤sin(α+

π

4

)≤1
∴-6

2

≤2x+3y≤6 

2

（2）由点到直线的距离公式可得d=|

2×3cosα+3×2sinα+7 2

4+9

|
=|

6 2 sin(α+ π 4 )+7 2

13

|
∵-6

2

≤6 

2

sin(α+

π

4

)≤6

2

∴

2

≤6

2

sin(α+

π

4

)+7

2

≤13

2

∴

26

13

≤d≤ 

26

∴最短距离d=

26

13